Question

17．以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求直線l的普通方程與圓C的直角坐標(biāo)系；
（2）設(shè)曲線C與直線l交于A、B兩點(diǎn)，若P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2，1），求||PA|-|PB||的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t，求得普通方程：y=x-1，由ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sinθ+4cosθ，可得：ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ，即可求得x²+y²-4x-4y=0圓C的直角坐標(biāo)系；
（2）將參數(shù)方程代入曲線圓C的直角坐標(biāo)系，可求得t²-$\sqrt{2}$t-7=0，由韋達(dá)定理可知t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-7＜0，即t₁•t₂異號，可知||PA|-|PB||=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t，求得普通方程：y=x-1，
直線l的普通方程為：y=x-1，（1分）
ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sinθ+4cosθ，
∴ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ，．
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4x-4y=0．（5分）
（2）點(diǎn)P（2，1）在直線l上，且在圓C內(nèi)，把$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入x²+y²-4x-4y=0，得：t²-$\sqrt{2}$t-7=0，
設(shè)兩個(gè)實(shí)根為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-7＜0，即t₁•t₂異號．
∴||PA|-|PB||=||t₁|-|t₂||=|t₁+t₂|=$\sqrt{2}$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．