Question

9．（1）已知點(diǎn)P（3，1）在矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{-1}\end{array}]$ 變換下得到點(diǎn)P′（5，-1）．試求矩陣A和它的逆矩陣A^-1．
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+2cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α為參數(shù)，m為常數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．若直線l與圓C有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意得=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{-1}\end{array}]$ $[\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3a+2}\\{3b-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{5}\\{-1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2=5}\\{3b-1=-1}\end{array}\right.$，解出即可得出A．det（A）=$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}|$=-1，即可得出A的逆矩陣A^-1．
（2）圓C的普通方程為（x-m）²+y²=4．直線l的極坐標(biāo)方程化為ρ （$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=$\sqrt{2}$，利用互化公式可得：直角坐標(biāo)方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式及其直線與圓的相交的充要條件即可得出．

解答 解：（1）依題意得=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\&{-1}\end{array}]$ $[\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3a+2}\\{3b-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{5}\\{-1}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+2=5}\\{3b-1=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}]$．
∵det（A）=$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}|$=1×（-1）-0×2=-1，
∴A的逆矩陣A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}]$．
（2）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+2cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α為參數(shù)，m為常數(shù)），利用平方關(guān)系可得：圓C的普通方程為（x-m）²+y²=4．
直線l的極坐標(biāo)方程化為ρ （$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=$\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=$\sqrt{2}$，化簡得x+y-2=0．
∵圓C的圓心為C（m，0），半徑為2，圓心C到直線l的距離d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$，
∴d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$＜2，
解得2-2$\sqrt{2}$＜m＜2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩陣變換、行列式的計算、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．