Question

20．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=1，則點A到平面A₁BC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 以C為原點，CA為x軸，在平面ABC中過C作CA的垂線為y軸，利用向量法能求出點A到平面A₁BC的距離．

解答 解：以C為原點，CA為x軸，在平面ABC中過C作CA的垂線為y軸，
CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=1，
∴A（2，0，0），A₁（2，0，1），B（1，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（2，0，1），$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CA}$=（2，0，0），
設(shè)平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=2x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，-2$\sqrt{3}$），
∴點A到平面A₁BC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1+12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．