Question

10．已知正四棱牲ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)4，連CD₁，作C₁M⊥CD₁于M．
（1）求證：BD₁⊥平面A₁C₁M；
（2）求二面角C₁-A₁M-D₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明BD₁⊥平面A₁C₁M；
（2）根據(jù)二面角的定義先求出二面角的平面角，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系即可求二面角C₁-A₁M-D₁的正切值．

解答 （1）證明：由題設(shè)條件可知，B₁D₁是BD₁在平面A₁C₁的射影，
由B₁D₁⊥A₁C₁得BD₁⊥A₁C₁．
又D₁C是BD₁在側(cè)面DC₁的射影，
由MC₁⊥D₁C，得BD₁⊥MC₁．
因此有BD₁⊥平面A₁C₁M．
（2）解：由于C₁D₁⊥平面A₁D，作D₁N⊥A₁M，連C₁N，
則C₁N⊥A₁M，∠C₁ND₁是二面角C₁-A₁M-D₁的平面角，
在矩形DD₁C₁C中，$\frac{M{D}_{1}}{{D}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{C{C}_{1}}$，得MD=$\frac{9}{4}$．
在Rt△MD₁A₁中，D₁N=$\frac{M{D}_{1}•{A}_{1}{D}_{1}}{{A}_{1}M}$=$\frac{9}{5}$．
在Rt△D₁C₁N中，tan∠C₁ND₁=$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{{D}_{1}N}$=$\frac{5}{3}$
即二面角C₁-A₁M-D₁的正切值為$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)面垂直的證明以及二面角的求解，利用線(xiàn)面垂直的判定定理以及二面角的定義是解決本題的關(guān)鍵．