Question

14．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D為C₁B的中點(diǎn)，P為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)．
（ I）若P為AB的中點(diǎn)，求證：DP∥平面ACC₁A₁；
（ II）若$AP=\frac{1}{2}$，求三棱錐A-DCP的體積．

Answer 1

分析 （1）連接DP，AC₁，由中位線(xiàn)定理可得DP∥AC₁，故DP∥平面ACC₁A₁；
（2）由D為C₁B的中點(diǎn)可知D到底面的距離為$\frac{1}{2}$AA₁，求出△ACP的面積，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）證明：連接DP，AC₁，
∵D為C₁B的中點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，
∴DP∥AC₁，又∵AC₁?平面ACC₁A₁，DP?平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁．
（2）${S_{△ACP}}=\frac{1}{2}AC•AP•sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∵D是BC₁的中點(diǎn)，∴D到平面ABC的距離h=$\frac{1}{2}$AA₁=$\frac{3}{2}$．
∴V_棱錐A-DCP=V_棱錐D-ACP=$\frac{1}{3}$S_△ACP•h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．