Question

16．已知一條雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=$\frac{1}{2}$x，且通過(guò)點(diǎn)A（3，3），則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．

Answer 1

分析 由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），代入A的坐標(biāo)，解方程即可得到所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=$\frac{1}{2}$x，
可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)A（3，3），可得λ=9-$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{4}$，
即有雙曲線(xiàn)的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{27}{4}$，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意漸近線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)的方程的關(guān)系，以及點(diǎn)滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．