Question

16．已知一條雙曲線的漸近線方程為y=$\frac{1}{2}$x，且通過點(diǎn)A（3，3），則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），代入A的坐標(biāo)，解方程即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由雙曲線的漸近線方程為y=$\frac{1}{2}$x，
可設(shè)雙曲線的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)A（3，3），可得λ=9-$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{4}$，
即有雙曲線的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{27}{4}$，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意漸近線方程與雙曲線的方程的關(guān)系，以及點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．