Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+2ax²-a²x（x∈R），其中a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，
f′（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5，
所以，曲線y=-x³+2x²-x在點(diǎn)（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0；
（Ⅱ）f（x）=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，解得$x=\frac{a}{3}$或x=a，
由于a=3，即有x=1或x=3．
當(dāng)x＞3或x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
因此，函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-4，
函數(shù)f（x）在x=3處取得極大值f（3）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．