分析 (1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出;
(2)利用“裂項(xiàng)求和”可得Tn,即可證明.
解答 (1)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,∵a2=5,S9=99,
∴$99=\frac{{9×({{a_1}+{a_9}})}}{2}=9{a_5}$,得a5=11,
∴3d=a5-a2=6,
∴d=2,a1=3,
∴an=2n+1,
${S_n}=\frac{{n({{a_1}+{a_n}})}}{2}=\frac{{n({2n+4})}}{2}=n({n+2})$.
(Ⅱ)證明:${b_n}=\frac{4}{a_n^2-1}=\frac{4}{{4n({n+1})}}=\frac{1}{{n({n+1})}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=({1-\frac{1}{2}})+({\frac{1}{2}-\frac{1}{3}})+…+({\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}})$=$1-\frac{1}{n+1}$,
∴Tn<1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 2.2 | 4.3 | 4.5 | 4.8 | t |
A. | 6.7 | B. | 6.6 | C. | 6.5 | D. | 6.4 |
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