Question

已知點(diǎn)P在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂(1,0)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，且MN∥AB，W＝.試判斷W是否為定值？若W為定值，請求出這個(gè)定值；若W不是定值，請說明理由．

Answer 1

解：(1)橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，∴c＝1，橢圓C的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，

可得2a＝

＝＋＝4，

解得a＝2，

∴b²＝a²－c²＝4－1＝3，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，|AB|²＝(2b)²＝4b²，|MN|＝，∴＝2a＝4.

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

由得(3＋4k²)x²－8k²x＋4k²－12＝0，

設(shè)直線AB的方程為y＝kx(k≠0)，

由消去y，并整理，得x²＝，

設(shè)A(x₃，y₃)，B(x₄，y₄)，

則|AB|＝|x₃－x₄|＝4，

綜上，W為定值4.