Question

17．設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）的距離之差的絕對(duì)值等于2的點(diǎn)的軌跡是E，C是軌跡E上一點(diǎn)，直線(xiàn)BC垂直于x軸，則$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=（　�。�

• A． -9
• B． -3
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 由條件便可得出軌跡E為雙曲線(xiàn)，并可求得方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，并可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），或（2，-3），從而可分別求出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，這樣即可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：根據(jù)題意知，軌跡E是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，x=2帶入方程得：y=±3；
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），或（2，-3）；
（1）若C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則：$\overrightarrow{AC}=（4，3），\overrightarrow{BC}=（0，3）$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=9$；
（2）若C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），則：$\overrightarrow{AC}=（4，-3），\overrightarrow{BC}=（0，-3）$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=9$；
綜上得，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=9$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線(xiàn)的定義，以及雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．