Question

9．每年暑假期間，安徽衛(wèi)視播出的《男生女生向前沖》闖關(guān)節(jié)目都非常火，如果單人通過(guò)所有關(guān)卡達(dá)到終點(diǎn)，則可獲得一臺(tái)空調(diào)，今年高考結(jié)束夠，高三某班學(xué)生為了放松一下，挑選了3名男生．3名女生組成男生隊(duì)與女生隊(duì)兩個(gè)隊(duì)伍參加這檔節(jié)目，3名男生能成功到達(dá)終點(diǎn)的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$．3名女生體質(zhì)差不多，每位女生能成功到達(dá)終點(diǎn)得概率均為$\frac{1}{5}$（男生和女生之間沒(méi)有影響）
（1）求男生隊(duì)沒(méi)有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得3臺(tái)空調(diào)的概率；
（2）設(shè)男生隊(duì)獲得空調(diào)的臺(tái)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（3）若以獲得的空調(diào)臺(tái)數(shù)定輸贏，求女生隊(duì)不輸給男生隊(duì)的概率．

Answer 1

分析 （1）男生隊(duì)沒(méi)有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)，是指三名男生都沒(méi)有到達(dá)終點(diǎn)，三名女生都成功到達(dá)終點(diǎn)，由此能求出男生隊(duì)沒(méi)有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（3）先計(jì)算男生隊(duì)獲勝的概率，進(jìn)而根據(jù)對(duì)立事件概率減法公式，得到答案．

解答 解：（1）∵男生隊(duì)沒(méi)有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)，
∴三名男生都沒(méi)有到達(dá)終點(diǎn)，三名女生都成功到達(dá)終點(diǎn)，
∴男生隊(duì)沒(méi)有獲得空調(diào)且女生隊(duì)獲得三臺(tái)空調(diào)的概率：
p=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）×（$\frac{1}{5}$）³=$\frac{1}{250}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{5}$）=$\frac{47}{120}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$）×$\frac{1}{6}$+（1-$\frac{1}{4}$）×$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{120}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{47}{120}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{120}$

Eξ=0×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{47}{120}$+2×$\frac{1}{10}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{37}{60}$，
（3）女生隊(duì)獲得空調(diào)的臺(tái)數(shù)∫的可能值也為0，1，2，3，
P（∫=1）=（1-$\frac{1}{5}$）³=$\frac{64}{125}$，
P（∫=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{5}$（1-$\frac{1}{5}$）²=$\frac{48}{125}$，
P（∫=2）=${C}_{3}^{2}$•（$\frac{1}{5}$）²（1-$\frac{1}{5}$）=$\frac{12}{125}$，
則男生隊(duì)獲勝的概率為：$\frac{47}{120}$×$\frac{64}{125}$+$\frac{1}{10}$×（$\frac{64}{125}$+$\frac{48}{125}$）+$\frac{1}{120}$×（$\frac{64}{125}$+$\frac{48}{125}$+$\frac{12}{125}$）=$\frac{373}{1250}$，
故女生隊(duì)不輸給男生隊(duì)的概率為1-$\frac{373}{1250}$=$\frac{877}{1250}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．