Question

18．已知拋物線(xiàn)C：y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F和點(diǎn)P（0，1）的射線(xiàn)FP與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)N，若|FM|：|MN|=1：3，則a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線(xiàn)的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由丨MF丨=丨MK丨，則丨KN丨：丨KM丨=2$\sqrt{2}$：1，根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式，即可求得a的值．

解答 解：由拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)C：y²=ax，焦點(diǎn)F（$\frac{a}{4}$，0），設(shè)M在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為K，
由拋物線(xiàn)的定義丨MF丨=丨MK丨，
由|FM|：|MN|=1：3，則|KM|：|MN|=1：3，
∴丨KN丨：丨KM丨=2$\sqrt{2}$：1，
則k_FN=$\frac{0-1}{\frac{a}{4}-0}$=$\frac{-4}{a}$，k_FN=-$\frac{丨KN丨}{丨KM丨}$=-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{-4}{a}$=-2$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$，
∴a的值$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，拋物線(xiàn)的定義，考查直線(xiàn)的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．