【題目】某賓館在裝修時,為了美觀,欲將客房的窗戶設(shè)計成半徑為的圓形,并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域,其中四邊形為中心在圓心的矩形,現(xiàn)計劃將矩形區(qū)域設(shè)計為可推拉的窗口.
(1)若窗口為正方形,且面積大于(木條寬度忽略不計),求四根木條總長的取值范圍;
(2)若四根木條總長為,求窗口面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題(1)長度與面積關(guān)系問題,可以考慮利用解不等式求范圍,先根據(jù)直線與圓位置關(guān)系得弦長與圓心到直線距離(即正方形邊長一半)關(guān)系,再根據(jù)面積大于得一根木條長范圍,注意四根木條將圓分成9個區(qū)域的隱含條件:(2)思路為長度一定,求面積最值,可以考慮利用基本不等式求最值,設(shè)所在木條長為,所在木條長為,則,而圓中垂徑定理得,因此
試題解析:解(1)設(shè)一根木條長為,則正方形的邊長為
因為,所以,即
又因為四根木條將圓分成9個區(qū)域,所以
所以;
(2)(方法一)設(shè)所在木條長為,則所在木條長為
因為,所以
設(shè),
令,得,或(舍去),或(舍去)
列表如下:
+ | 0 | - | |
極大值 |
所以當時,,即
(方法二)設(shè)所在木條長為,所在木條長為
由條件,,即
因為,所以,從而
由于,
因為
當且僅當時,
答:窗口面積的最大值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在倡導低碳、節(jié)能減排政策的推動下,越來越多的消費者選擇購買新能源汽車.某品牌新能源汽車的行駛里程x(萬公里)與該里程內(nèi)維修保養(yǎng)的總費用y(千元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
0.8 | 1.8 | 3.3 | 4.5 | 4.7 | 6.8 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程為.我們認為,若殘差絕對值,則該數(shù)據(jù)為可疑數(shù)據(jù),請找出上表中的可疑數(shù)據(jù);
(2)經(jīng)過確認,數(shù)據(jù)采集有誤,(1)中可疑數(shù)據(jù)的維修保養(yǎng)總費用應增加0.7千元.請重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù).(精確到0.01)
附:,.,,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(13分)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2,a3=a2+4.
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè){bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn.
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【題目】如圖,四棱錐中,底面 ABCD為矩形,側(cè)面為正三角形,且平面平面 E 為 PD 中點,AD=2.
(1)證明平面AEC丄平面PCD;
(2)若二面角的平面角滿足,求四棱錐 的體積.
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【題目】已知焦距為2的橢圓:的右頂點為,直線與橢圓交于、兩點(在的左邊),在軸上的射影為,且四邊形是平行四邊形.
(1)求橢圓的方程;
(2)斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點,.
(i)若直線過原點且與坐標軸不重合,是直線上一點,且是以為直角頂點的等腰直角三角形,求的值;
(ii)若是橢圓的左頂點,是直線上一點,且,點是軸上異于點的點,且以為直徑的圓恒過直線和的交點,求證:點是定點.
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【題目】下列四個結(jié)論:
兩條直線和同一個平面垂直,則這兩條直線平行;
兩條直線沒有公共點,則這兩條直線平行;
兩條直線都和第三條直線垂直,則這兩條直線平行;
一條直線和一個平面內(nèi)任意直線沒有公共點,則這條直線和這個平面平行.
其中正確的個數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E—PC—A的正弦值.
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【題目】砂糖橘是柑橘類的名優(yōu)品種,因其味甜如砂糖故名.某果農(nóng)選取一片山地種植砂糖橘,收獲時,該果農(nóng)隨機選取果樹20株作為樣本測量它們每一株的果實產(chǎn)量(單位:kg),獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]進行分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(45,50]上的果樹株數(shù)是產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹株數(shù)的倍.
(1)求a,b的值;
(2)從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹里隨機抽取兩株,求產(chǎn)量在區(qū)間(55,60]上的果樹至少有一株被抽中的概率.
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