Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)α∈N，且e-2＜${∫}_{0}^{1}$f（x）dx＜e-1時，求f（x）的最小值；
（2）設(shè)不等式f（x）＞x的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求的定積分．再解不等式．求出a的值．再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求f（x）的最小值；
（2）根據(jù)不等式f（x）＞x的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，可轉(zhuǎn)化成，對任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞x恒成立，將（1+a）x＜e^x變形為a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，令（x）=＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的最小值，使a小于最小值即可．

解答 解：（1）${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（e^x-ax）dx=（e^x-$\frac{1}{2}$ax²）|${\;}_{0}^{1}$=e-$\frac{1}{2}$a-1，
∵e-2＜${∫}_{0}^{1}$f（x）dx＜e-1，
∴e-2＜e-$\frac{1}{2}$a-1＜e-1，
∴0＜a＜2，
∵α∈N，
∴a=1，
∴f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（0）=1；
（2）∵f（x）=e^x-ax，
∴不等式f（x）＞x可化為e^x-x-ax＞0，
又∵不等式f（x）＞x的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，
由f（x）＞x，得（1+a）x＜e^x
當(dāng)x=0時，上述不等式顯然成立，
故只需考慮x∈（0，2]的情況．
將（1+a）x＜e^x變形為a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，
令g（x）=＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，則g′（x）=$\frac{（1-x）{e}^{x}}{{x}^{2}}$
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．
從而g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=1時，g（x）取得最小值e-1，從而，
所求實數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1）

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及恒成立問題，一般恒成立求參數(shù)問題常常將參數(shù)進行分離，轉(zhuǎn)化成研究已知函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題，考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．