Question

6．正三棱臺(tái)A₁B₁C₁-ABC中，A₁B₁：AB=1：2，截面A₁BC與ABC的夾角為30°，求：
（1）截面A₁BC與底面ABC的面積之比；
（2）三棱臺(tái)被截面A₁BC分成的上下兩部分的體積之比．

Answer 1

分析 （1）補(bǔ)形，延長(zhǎng)各側(cè)棱必交于一點(diǎn)P，得正三棱錐P-ABC．取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)A₁D和AD，因截面A₁BC，ABC是等底的兩個(gè)等腰三角形，其面積比就是其對(duì)應(yīng)高的比；
（2）利用體積公式，求出體積，即可求出三棱臺(tái)被截面A₁BC分成的上下兩部分的體積之比．

解答 解：（1）補(bǔ)形，延長(zhǎng)各側(cè)棱必交于一點(diǎn)P，得正三棱錐P-ABC．取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)A₁D和AD．
由題設(shè)知，∠ADA₁=30°，且點(diǎn)P在底面ABC上的射影點(diǎn)O是三角形ABC的重心．而點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影則是OA的中點(diǎn)O'．
可設(shè)A₁D=2，則A₁O'=1，O'D=$\sqrt{3}$，∴AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴A₁D：AD=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．
因截面A₁BC，ABC是等底的兩個(gè)等腰三角形，其面積比就是其對(duì)應(yīng)高的比，
故二者的面積比為$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．
（2）設(shè)正三棱錐P-ABC的底邊長(zhǎng)為2m，高為2h．則三棱錐P-ABC和P-A₁B₁C₁的體積分別為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4{m}^{2}×2h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{m}^{2}h$，$\frac{\sqrt{3}}{12}{m}^{2}h$，
∴正三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁的體積為$\frac{7\sqrt{3}}{12}{m}^{2}h$．而三棱錐A₁-ABC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}{m}^{2}h$．
∴正三棱臺(tái)的被截成的上部分體積為$\frac{\sqrt{3}}{4}{m}^{2}h$．
∴三棱臺(tái)被截面A₁BC分成的上下兩部分的體積之比為3：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正三棱臺(tái)A₁B₁C₁-ABC中面積比、體積比問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．