Question

15．設對任意實數(shù)x＞y＞0，若不等式x+2$\sqrt{xy}$＞ay恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，3）
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 分離參數(shù)，再利用換元法，確定函數(shù)的最小值，從而可求實數(shù)a的最大值．

解答 解：對任意實數(shù)x＞y＞0，若不等式x+2$\sqrt{xy}$＞ay恒成立，
∴a＜$\frac{x}{y}$+2$\sqrt{\frac{x}{y}}$=（$\sqrt{\frac{x}{y}}$+1）²-1
∵$\frac{x}{y}$＞1
∴（$\sqrt{\frac{x}{y}}$+1）²-1＞（1+1）²-1=3，
∴a≤3，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的最值問題的應用，考查恒成立的問題，考查了學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．