Question

4．已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，0≤α＜2π），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=a-2t}\\{y=2\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求直線l和圓C交點的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l與圓C交于P、Q兩點，若Q間的劣弧長為$\frac{8π}{3}$，求直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （I）將曲線C化成普通方程，將直線l的參數(shù)方程代入圓的普通方程得出參數(shù)的值，即可求出交點的坐標(biāo)；
（II）根據(jù)弧長計算圓心角，得出圓心到直線的距離．列出方程解出a，再將直線方程化成極坐標(biāo)方程．

解答 解：（I）圓C的普通方程為x²+y²=16，
將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2t}\\{y=2\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入圓C的普通方程得：
16t²=16，∴t=1或-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴直線l和圓C交點的直角坐標(biāo)為（-2，2$\sqrt{3}$），（2，-2$\sqrt{3}$）．
（II）∵$\widehat{PQ}$=$\frac{8π}{3}$，圓C的半徑為4，∴∠PCQ=$\frac{2π}{3}$．
∴圓心C到直線l的距離為$\frac{1}{2}PC$=2．
∵直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$a=0，
∴$\frac{|\sqrt{3}a|}{2}$=2．解得a=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x+y-4=0，或$\sqrt{3}$x+y+4=0，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}ρcosθ$+ρsinθ-4=0或$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ+4=0．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．