Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，滿足S_n=n²+3n+2（n∈N₊）
（1）求a_n；   
（2）求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）利用等差數(shù)列的求和公式，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+4，
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2n+4，n≥2}\end{array}}\right.$，即a_n=2n+4；
（2）由（1）可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
$\begin{array}{l}∴\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2（{n+2}）}}\end{array}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．