Question

18．設函數f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在$[0，\frac{π}{2n}]$上的面積為$\frac{1}{n}$（n∈N^*），則函數y=sin（3x-π）+2在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上的面積為$2π+\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 首先通過類比可以得出y=sin3x在[0，π]上的面積．設t=x-$\frac{π}{3}$，t∈[0，π]，則y=sin3t+2，得到封閉圖形的面積．

解答 解：設t=x-$\frac{π}{3}$，t∈[0，π]，則y=sin3t+2，∵函數y=sinnx在[0，$\frac{π}{2n}$]上的面積為$\frac{1}{n}$（n∈N^*），∴對于函數y=sin3x而言，n=3，
∴y=sin3x在[0，$\frac{π}{6}$]上的面積為$\frac{1}{3}$；所以在[0，$\frac{π}{3}$]的面積為$\frac{2}{3}$，在[0，π]的面積為2；
∴y=sin（3x-π）+2在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上的面積為2π+2，
故答案為：2π+2；

點評 本題考查了三角函數與封閉圖形的面積；在解題過程中，尋找解題的突破口，往往離不開類比聯想，我們在解題中，要進一步通過概念類比、性質類比、結構類比以及方法類比等思維訓練途徑，來提高類比推理的能力．