Question

3．在平面直角坐標系xOy中，已知點P（-1，0），Q（2，1），直線l：ax+by+c=0，其中實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，若點P在直線l上的射影為H，則線段QH的取值范圍是$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 直線l：ax+by+c=0，其中實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，可得a（2x+y）+c（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，可得直線l：ax+by+c=0，恒經過定點M（1，-2）．由于PH⊥l，可得點H在以PM為直徑的圓上，其圓心C（0，-1）．圓的方程為：x²+（y+1）²=2．則|QC|-r≤|QH|≤|QC|+r．

解答 解：直線l：ax+by+c=0，其中實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，
∴ax+$\frac{a+c}{2}$y+c=0，化為a（2x+y）+c（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-2．
∴直線l：ax+by+c=0，恒經過定點M（1，-2）．
∵PH⊥l，
∴點H在以PM為直徑的圓上，其圓心C（0，-1）．
圓的方程為：x²+（y+1）²=2．
|QC|=2$\sqrt{2}$．
∴|QC|-r≤|QH|≤|QC|+r，
線段QH的取值范圍是$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．
故答案為：$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了圓的標準方程及其性質、兩點之間的距離公式、直線系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．