Question

11．對(duì)于非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=0．則|$\overrightarrow$|的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ，設(shè)|$\overrightarrow$|=t，t＞0，根據(jù)向量的數(shù)量積德運(yùn)算得到cosθ=$\frac{1}{t}$-2t，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到關(guān)于t的不等式組，解得即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ，設(shè)|$\overrightarrow$|=t，t＞0
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=0，
∴（$\overrightarrow{a}$）²-2（$\overrightarrow$）²•-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴1-2|$\overrightarrow$|²-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=0，
∴1-2t²-tcosθ=0，
∴cosθ=$\frac{1}{t}$-2t，
∴-1≤$\frac{1}{t}$-2t≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{t}-2t≤1}\\{\frac{1}{t}-2t≥-1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$≤t≤1，
∴則$\overrightarrow$|的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1]，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及不等式的解法，關(guān)鍵構(gòu)造不等式組，屬于中檔題．