Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，設點M（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一點，從原點O向圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²作兩條切線分別與橢圓C交于點P，Q．直線OP，OQ的斜率分別記為k₁，k₂
（1）若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程；
（2）若r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，①求證：k₁k₂=-$\frac{1}{4}$；②求OP•OQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）橢圓C的右焦點是（$\sqrt{3}$，0），x=$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得y=±$\frac{1}{2}$，求出圓的圓心，然后求圓M的方程；
（2）①因為直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓R相切，推出k₁，k₂是方程（1+k²）x²-（2x₀+2ky₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0的兩個不相等的實數(shù)根，利用韋達定理推出k₁k₂．結合點M（x₀，y₀）在橢圓C上，證明k₁k₂=-$\frac{1}{4}$．
②（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通過4k₁k₂+1=0，推出y₁²y₂²=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，利用P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），在橢圓C上，推出OP²+OQ²=5，即可求出OP•OQ的最大值．

解答 解：（1）橢圓C的右焦點是（$\sqrt{3}$，0），x=$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得y=±$\frac{1}{2}$，
∴圓M的方程：（x-$\sqrt{3}$）²+（y$±\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$；
（2）因為直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓R相切，
所以直線OP：y=k₁x與圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{4}{5}$聯(lián)立，可得（1+k₁²）x²-（2x₀+2k₁y₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0
同理（1+k₂²）x²-（2x₀+2k₂y₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0，
由判別式為0，可得k₁，k₂是方程（x₀²-$\frac{4}{5}$）k²-2x₀y₀k+y₀²-$\frac{4}{5}$=0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}$，
因為點M（x₀，y₀）在橢圓C上，所以y²=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
所以k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{4}$；
（3）（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因為4k₁k₂+1=0，所以$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+1=0，即y₁²y₂²=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，
因為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在橢圓C上，所以y₁²y₂²=（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$）（1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，
整理得x₁²+x₂²=4，
所以y₁²+y₂²=1
所以OP²+OQ²=5．  
（ii）當直線落在坐標軸上時，顯然有OP²+OQ²=5，
綜上：OP²+OQ²=5
所以OP•OQ≤$\frac{1}{2}$（OP²+OQ²）=2.5，
所以OP•OQ的最大值為2.5．

點評 本題考查直線與橢圓的綜合應用，直線與圓相切關系的應用，考查分析問題解決問題的能力．轉化思想的應用．