Question

17．設(shè)x+y=4，且y＞0，則$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$的最小值為$\frac{28}{57}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知x＜4，分0＜x＜4，和x＜0時兩種情況討論，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，比較即可得到$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$的最小值．

解答 解：x+y=4，且y＞0，
y=4-x＞0，
∴x＜4，
當0＜x＜4時，
∴$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$=$\frac{1}{4x}$+$\frac{x}{4-x}$，
設(shè)f（x）=$\frac{1}{4x}$+$\frac{x}{4-x}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{4{x}^{2}}$+$\frac{4}{（4-x）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{4}{5}$，
當f′（x）＞0，即$\frac{4}{5}$＜x＜4，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，即x＜$\frac{4}{5}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（$\frac{4}{5}$）=$\frac{9}{16}$，
當x＜0時，
∴$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$=-$\frac{1}{4x}$-$\frac{x}{4-x}$，
設(shè)g（x）=-$\frac{1}{4x}$-$\frac{x}{4-x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{4{x}^{2}}$-$\frac{4}{（4-x）^{2}}$，
令g′（x）=0，解得x=-$\frac{3}{4}$，
當g′（x）＞0，即-$\frac{3}{4}$＜x＜0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當g′（x）＜0，即x＜-$\frac{3}{4}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（-$\frac{3}{4}$）=$\frac{28}{57}$，
∵$\frac{28}{57}$＜$\frac{9}{16}$
綜上所述：$\frac{1}{4|x|}$+$\frac{|x|}{y}$的最小值為$\frac{28}{57}$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)與最值得關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，屬于中檔題．