Question

4．在平面直角坐標系中，已知A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}所表示的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 設$\left\{\begin{array}{l}{s=x+y}\\{t=x-y}\end{array}\right.$，用s，t表示x，y，建立關于s，t的不等式組，作出不等式組對應的平面區(qū)域，結(jié)合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：設$\left\{\begin{array}{l}{s=x+y}\\{t=x-y}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{s+t}{2}}\\{y=\frac{s-t}{2}}\end{array}\right.$，
∵A={（x，y）|x+y＜1，且x≥0，y≥0}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{s＜1}\\{\frac{s+t}{2}≥0}\\{\frac{s-t}{2}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{s＜1}\\{s+t≥0}\\{s-t≥0}\end{array}\right.$，
則B={（s，t）|$\left\{\begin{array}{l}{s＜1}\\{s+t≥0}\\{s-t≥0}\end{array}\right.$}，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{s+t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，即B（1，-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{s-t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
則|AB|=2，
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}×1×2$=1．
即平面區(qū)域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面積是1．

點評 本題主要考查平面區(qū)域的面積的計算，利用換元法轉(zhuǎn)化為關于s，t的二元一次不等式組，作出不等式組對應的平面區(qū)域進行求解是解決本題的關鍵．