Question

9．設(shè)點(diǎn)P為圓O：x²+y²=4上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P在x軸上的射影，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足：$\overrightarrow{MQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（-$\sqrt{3}$，0）作直線(xiàn)l交圓O于A、B兩點(diǎn)，交（1）中的軌跡E于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在這樣的直線(xiàn)l，使得$\sqrt{|AF|•|BF|}$=$\frac{|CF|+|DF|}{2}$成立？若存在，求出所有的直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2y），根據(jù)P在圓上求得M點(diǎn)軌跡方程．
（2）設(shè)其方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），代入x²+y²=4，整理得$（1+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{3}{k}^{2}x+3{k}^{2}-4=0$，求出|AF|，|BF|得到$\sqrt{|AF||BF|}$，再將y=k（x+$\sqrt{3}$）代入x²+4y²=4，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$k²x+4（3k²-1）=0，求出|CF|，|DF|，得到$\frac{|CF|+|DF|}{2}$，根據(jù)條件求出k值．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2y）
因?yàn)镻在圓O：x²+y²=4，所以x²+4y²=4
故所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
（2）①當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，由于F（$-\sqrt{3}，0$）易知|AF|=|BF|=1，|CF|=|DF|=$\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{|AF||BF|}≠\frac{|CF|+|DF|}{2}$，不合題意．
②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），代入x²+y²=4，整理得$（1+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{3}{k}^{2}x+3{k}^{2}-4=0$，
△1=$（2\sqrt{3}{k}^{2}）^{2}-4（1+{k}^{2}）（3{k}^{2}-4）＞0$
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2\sqrt{3}{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$
所以|AF|=$\sqrt{（{x}_{1}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{1}^{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}+\sqrt{3}|$
|BF|=$\sqrt{（{x}_{2}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{2}^{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}+\sqrt{3}|$
從而$\sqrt{|AF||BF|}=（1+{k}^{2}）|（{x}_{1}+\sqrt{3}）（{x}_{2}+\sqrt{3}）|$=$（1+{k}^{2}）|{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3|$
=$（1+{k}^{2}）|\frac{3{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}-\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+3|=1$
將y=k（x+$\sqrt{3}$）代入x²+4y²=4，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$k²x+4（3k²-1）=0
△2=$（8\sqrt{3}{k}^{2}）^{2}-16（1+4{k}^{2}）（3{k}^{2}-1）＞0$
設(shè)C（x3，y3）D（x4，y4），則${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{3}{x}_{4}=\frac{4（3{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$
所以|CF|=$\sqrt{（{x}_{4}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{3}^{2}}=\sqrt{\frac{（\sqrt{3}{x}_{3}+4）^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}{x}_{3}+4}{2}$
|DF|=$\sqrt{（{x}_{4}+\sqrt{3}）^{2}+{y}_{4}^{2}}=\sqrt{\frac{（\sqrt{3}+{x}_{4}）^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}{x}_{4}+4}{2}$
從而$\frac{|CF|+|DF|}{2}=2+\frac{\sqrt{3}}{4}（{x}_{3}+{x}_{4}）=\frac{2+2{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
故$\sqrt{|AF||BF|}=\frac{|CF|+|DF|}{2}$?$1=\frac{2+2{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$?${k}^{2}=\frac{1}{2}$?$k=±\frac{\sqrt{2}}{2}$
綜上，存在兩條符合條件的直線(xiàn)，其方程為y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}（x+\sqrt{3}）$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軌跡方程的求解和直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，屬于難度較大的題，高考經(jīng)常涉及．