Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)b=0時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)b=1時，回答下面兩個問題：
（i）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在公共點P處有相同的切線．求實數(shù)a的值；
（ii）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個不同的交點M，N．過線段MN的中點作x軸的垂線，分別與f（x），g（x）的圖象交于S，T兩點．以S為切點作f（x）的切l(wèi)₁，以T為切點作g（x）的切線l₂，是否存在實數(shù)a，使得l₁∥l₂，若存在．求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax²（x＞0），求導(dǎo)可得h′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，從而由導(dǎo)數(shù)的討論確定其單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（i）設(shè)函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象的公共點P（x₀，y₀），則有l(wèi)nx₀=ax₀²-x₀，f′（x₀）=g′（x₀），從而可得lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x₀；再令H（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$x，H′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0；從而求a；
（ii）不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁＞x₂，則MN中點的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）；從而寫出切線的斜率k₁=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，k₂=g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=a（x₁+x₂）-1，從而如果存在a使得k₁=k₂，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，再結(jié)合lnx₁=ax₁²-x₁和lnx₂=ax₂²-x₂得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$；設(shè)u=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，則有l(wèi)nu=$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）；從而可確定滿足條件的實數(shù)a并不存在．

解答 解：（Ⅰ）由題意，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax²（x＞0），
所以，h′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
所以，當(dāng)a≤0時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）．
（Ⅱ）（i）設(shè)函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象的公共點P（x₀，y₀），則有
lnx₀=ax₀²-x₀，①
又在點P有共同的切線，
∴f′（x₀）=g′（x₀），
即$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax₀-1，
即a=$\frac{1+{x}_{0}}{2{x}_{0}^{2}}$代入①得
lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x₀；
設(shè)H（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$x，H′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0；
所以函數(shù)H（x）最多只有1個零點，觀察得x₀=1是零點．
∴a=1，此時P（1，0）．
（ii）不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁＞x₂，則MN中點的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）；
以S為切點的切線l₁的斜率k₁=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
以T為切點的切線l₂的斜率k₂=g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=a（x₁+x₂）-1，
如果存在a使得k₁=k₂，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，①
而且有l(wèi)nx₁=ax₁²-x₁和lnx₂=ax₂²-x₂，
如果將①的兩邊乘x₁-x₂得并簡可得，
$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=ax₁²-x₁-（ax₂²-x₂）=lnx₁-lnx₂=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
即，ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$；
設(shè)u=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，則有l(wèi)nu=$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）；
考察F（u）=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）的單調(diào)性不難發(fā)現(xiàn)，
F（u）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故F（u）＞F（1）=0，
所以，滿足條件的實數(shù)a并不存在．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及化簡及整體代換的應(yīng)用，化簡運算很困難，屬于難題．