Question

15．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2$\sqrt{3}$，E為對角線BD的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，則三棱錐P-BCD的外接球的表面積為（　�。�

• A． 28π
• B． 32π
• C． 16π
• D． 12π

Answer 1

分析 利用球的對稱性可知∠OEC=60°，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出球的半徑，即可求出三棱錐P-BCD的外接球的表面積．

解答 解：過球心O作OO′⊥平面BCD，則O′為等邊三角形BCD的中心，
∵四邊形ABCD是菱形，A=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵∠PEC=120°，∴∠OEC=60°；
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴CE=3，
∴EO′=1，CO′=2，
∴OO′=$\sqrt{3}$，
∴球的半徑OC=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$．
∴三棱錐P-BCD的外接球的表面積為4π•7=28π，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，考查三棱錐P-BCD的外接球的表面積，找出∠OEC=60°是解題關(guān)鍵．