Question

8．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=a，∠BAB₁=∠B₁A₁C₁=30°，則異面直線AB₁與A₁C₁所成角的余弦值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作出圖形，連接C₁D₁，DA₁，從而找到異面直線AB₁與A₁C₁所成角為∠A₁C₁D，根據(jù)條件求出△DA₁C₁的三邊長度，根據(jù)余弦定理即可求出cos∠A₁C₁D的值．

解答 解：如圖，連接C₁D，DA₁，則C₁D∥AB₁；
∴∠A₁C₁D是異面直線AB₁與A₁C₁所成角；
∵AA₁=a，∠BAB₁=∠B₁A₁C₁=30°；
∴${C}_{1}D=AB=\frac{a}{\frac{1}{2}}=2a$，${A}_{1}{B}_{1}=\sqrt{3}a$，${A}_{1}{C}_{1}=\frac{\sqrt{3}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2a$，B₁C₁=a，$D{A}_{1}=\sqrt{2}a$；
即在△A₁C₁D中，${C}_{1}D={A}_{1}{C}_{1}=2a，D{A}_{1}=\sqrt{2}a$；
∴由余弦定理得：$cos∠{A}_{1}{C}_{1}D=\frac{4{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{2•2a•2a}=\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 考查三角函數(shù)的定義，直角三角形的邊的關(guān)系，以及異面直線所成角的概念及求法，余弦定理．