Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{x}{x+1}$，記F（x）=f（x）-g（x）
（1）求曲線y=f（x）在x=e處的切線方程；
（2）求函數(shù)F（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=e時的導數(shù)，即切線的斜率，再求出f（e）的值，代入直線方程的點斜式得答案；
（2）把f（x）、g（x）的解析式代入F（x）=f（x）-g（x）求其導函數(shù)后判斷其符號，可得函數(shù)在[$\frac{1}{e}$，e²]上的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)最值．

解答 解：（1）由f（x）=lnx，得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}$，
∴${f}^{′}（e）=\frac{1}{e}$，又f（e）=lne=1，
∴曲線y=f（x）在x=e處的切線方程為y-1=$\frac{1}{e}（x-e）$，
即x-ey=0；
（2）$F（x）=lnx-\frac{x}{x+1}$，${F}^{′}（x）=\frac{1}{x}-\frac{x+1-x}{（x+1）^{2}}=\frac{{x}^{2}+x+1}{x（x+1）^{2}}＞0$，
∴F（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上單調(diào)遞增，
∴$F（x）_{min}=F（\frac{1}{e}）=\frac{-e-2}{1+e}$，$F（x）_{max}=F（{e}^{2}）=\frac{{e}^{2}+2}{{e}^{2}-1}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．