Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-g（x）}{2}$•（x²+2x+a）+$\frac{1+g（x）}{2}$•ln|x|，其中a∈R，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$．設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)，且x₁＜x₂．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值，并指出此時(shí)x₁，x₂的值；
（3）若存在x₁，x₂使函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論x＞0，x＜0，由g（x）即可得到f（x）；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)A，B處的切線的斜率，再由兩直線垂直的條件，化簡(jiǎn)整理，由二次函數(shù)的值域即可得到最小值；
（3）求出f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線方程，由兩切線重合的條件，再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用單調(diào)性即可求得a的范圍．

解答 解：（1）由題意有，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+a，x＜0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$，
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為f′（x₁），
點(diǎn)B處的切線斜率為f′（x₂），
故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切垂直時(shí)，有f′（x₁）•f′（x₂）=-1
當(dāng)x＜0時(shí)，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得f′（x）=2x+2．
因?yàn)閤₁＜x₂＜0，所以（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，
即4x₁x₂=-4（x₁+x₂）-5，
x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{2}+{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+4（{x}_{1}+{x}_{2}）+5}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}+2）^{2}+1}$，
當(dāng)x₁+x₂=-2，時(shí)，x₁x₂=$\frac{3}{4}$，此時(shí)x₁=-$\frac{3}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$，x₂-x₁取得最小值1．
（3）當(dāng)x₁＜x₂＜0或x₂＞x₁＞0時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂．
當(dāng)x₁＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x₁，f（x₁））處的切線方程為
y-（x₁²+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁），即y=（2x₁+2）x-x₁²+a
當(dāng)x₂＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x₂，f（x₂））處的切線方程為
y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂），即y=$\frac{1}{{x}_{2}}$•x+lnx₂-1．
兩切線重合的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{2}}=2{x}_{1}+2}\\{ln{x}_{2}-1=a-{{x}_{1}}^{2}}\end{array}\right.$，
由x₁＜0＜x₂知，-1＜x₁＜0．
a=x₁²+ln$\frac{1}{2{x}_{1}+2}$-1=x₁²-ln（2x₁+2）-1．
設(shè)h（x₁）=x₁²-ln（2x₁+2）-1（-1＜x₁＜0），
則h′（x₁）=2x₁-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$＜0．
所以h（x₁）（-1＜x₁＜0）是減函數(shù)．
則h（x₁）＞h（0）=-ln2-1，
所以a＞-ln2-1．
又當(dāng)x₁∈（-1，0）且趨近于-1時(shí)，h（x₁）無(wú)限增大，所以a的取值范圍是（-ln2-1，+∞）．
故當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是（-ln2-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力，屬于中檔題．