【題目】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中,、.
(1)試寫出一組、的值,使得數(shù)列中的各項(xiàng)均為正數(shù).
(2)若,,數(shù)列滿足,且對(duì)任意的(),均有,寫出所有滿足條件的的值.
(3)若,數(shù)列滿足,其前項(xiàng)和為,且使(、,)的和有且僅有組,、、…、中有至少個(gè)連續(xù)項(xiàng)的值相等,其它項(xiàng)的值均不相等,求、的最小值.
【答案】(1) 、(答案不唯一).(2) 7,8,9,10,11.(3) 的最小值為.的最小值為
【解析】
(1)只要均小于1即可;
(2)利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性分類討論,注意的取值只能是正整數(shù).
(3),且,求出
因?yàn)?/span>,只有四組,利用二次函數(shù)的性質(zhì)得,進(jìn)一步得,的四個(gè)值為,,,,因此,的最小值為.再由中有至少個(gè)連續(xù)項(xiàng)的值相等,其它項(xiàng)的值均不相等,則中接著至少有兩個(gè)0,從而可得的最小值.
(1)、(答案不唯一).
(2)由題設(shè),.
當(dāng),單調(diào)遞增,不合題意,
時(shí),,在時(shí)單調(diào)遞增,不合題意,因此,.
當(dāng)時(shí),對(duì)于,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.
由題設(shè),有,.
于是由及,可解得.
因此,的值為7,8,9,10,11.
(3)因?yàn)?/span>,且,
所以
因?yàn)?/span>(、,),所以、.
于是由,可得,進(jìn)一步得,
此時(shí),的四個(gè)值為,,,,因此,的最小值為.
又、、…、中有至少個(gè)連續(xù)項(xiàng)的值相等,其它項(xiàng)的值均不相等,不妨設(shè),于是有,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,
因此,,即的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為矩形,,,為線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若為線段的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若三棱錐的體積記為,四棱錐的體積記為,當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),令,其導(dǎo)函數(shù)為,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),判斷是否為的零點(diǎn)?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)都在雙曲線上,直線與軸相交于點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的方程,并求出點(diǎn)的坐標(biāo)(用表示);
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且,試求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得成立,則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點(diǎn),說(shuō)明理由:
(2)已知向量,,,證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).
(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中且.
(1)若是正項(xiàng)數(shù)列,求的取值范圍;
(2)若,數(shù)列滿足,且對(duì)任意,均有,寫出所有滿足條件的的值;
(3)若,數(shù)列滿足,其前n項(xiàng)和為,且使的i和j至少4組,、、……、中至少有5個(gè)連續(xù)項(xiàng)的值相等,其它項(xiàng)的值均不相等,求,滿足的充要條件并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 是邊長(zhǎng)為的正方形,平面平面, , , , .
(1)求證:面面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得二面角的大小為?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)時(shí),解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)的值;
(3)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,取同離心率的兩個(gè)橢圓成軸對(duì)稱內(nèi)外嵌套得一個(gè)標(biāo)志,為美觀考慮,要求圖中標(biāo)記的①、②、③)三個(gè)區(qū)域面積彼此相等.(已知:橢圓面積為圓周率與長(zhǎng)半軸、短半軸長(zhǎng)度之積,即橢圓面積為)
(1)求橢圓的離心率的值;
(2)已知外橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,用直角角尺兩條直角邊內(nèi)邊緣與外橢圓相切,移動(dòng)角尺繞外橢圓一周,得到由點(diǎn)M生成的軌跡將兩橢圓圍起來(lái),整個(gè)標(biāo)志完成.請(qǐng)你建立合適的坐標(biāo)系,求出點(diǎn)M的軌跡方程.
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