Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）計算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式a_n；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推式計算，猜想；
（2）檢驗n=1時猜想成立，假設(shè)n=k時猜想成立，證明當(dāng)n=k+1時猜想也成立．

解答 解：（1）a₂=$\frac{2×1}{2+1}=\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{2×\frac{2}{3}}{2+\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2×\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{5}$．
猜想：a_n=$\frac{2}{n+1}$．
證明：（2）當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{2}{1+1}=1$，結(jié)論成立，
假設(shè)n=k時猜想成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
則a_k+1=$\frac{2{a}_{k}}{2+{a}_{k}}$=$\frac{\frac{4}{k+1}}{2+\frac{2}{k+1}}$=$\frac{4}{2k+4}$=$\frac{2}{k+2}$=$\frac{2}{（k+1）+1}$．
即當(dāng)n=k+1時，猜想成立．
∴對一切n∈N，都有a_n=$\frac{2}{n+1}$．

點評 此題主要考查歸納法的證明，要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，屬于中檔題．