Question

19．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，已知拋物線上一點Q，其縱坐標(biāo)為4，且|QF|=4．
（1）求p的值；
（2）設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點是R，直線l與拋物線交于異于Q、R的不同兩點A、B，且直線QA、QB的斜率之積為-4，求△RAB面積最小時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的橫坐標(biāo)為$\frac{8}{p}$，利用|QF|=4，根據(jù)拋物線的定義建立方程，求出p的值；
（2）求出R（2，-4），設(shè)直線l的方程為x=my+b，代入y²=8x，利用直線QA、QB的斜率之積為-4，求出x=my+4m+4，求出|AB|，R到直線l的距離，得出面積，即可求△RAB面積最小時直線l的方程．

解答 解：（1）∵P的縱坐標(biāo)為4，∴P的橫坐標(biāo)為$\frac{8}{p}$，
∵|QF|=4，
∴$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=4，
∵p＞0，
∴p=4；
（2）由（1）Q（2，4），則R（2，-4）
設(shè)直線l的方程為x=my+b，代入y²=8x，可得y²-8my-8b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8b，
∵直線QA、QB的斜率之積為-4，
∴$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}-2}$=-4，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+32=0，
∴-8b+32m+32=0，
∴b=4m+4，
∴x=my+4m+4，
∵|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+32b}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+128m+128}$
R到直線l的距離為$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴△RAB面積S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+128m+128}$•$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\sqrt{64{m}^{2}+128m+128}$=8$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$
∴m=-1時，△RAB面積最小，最小值為8，直線l的方程為x+y=0．

點評 本題考查拋物線的方程與定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．