Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，右焦點為F（c，0），方程ax²+bx-c=0的兩個實根x₁，x₂，則點P（x₁，x₂）（　　）

• A． 必在圓x²+）y²=2上
• B． 必在圓x²+y²=2內(nèi)
• C． 必在圓x²+y²=2外
• D． 以上三種情況都有可能

Answer 1

分析 由題意可求得c=$\frac{1}{2}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，從而可求得x₁和x₂，利用韋達(dá)定理可求得x₁²+x₂²的值，從而可判斷點P與圓x²+y²=2的關(guān)系．

解答 解：∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴ax²+bx-c=ax²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ax-$\frac{1}{2}$a=0，
∵a≠0，
∴x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，又該方程兩個實根分別為x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{3}{4}$+1＜2．
∴點P在圓x²+y²=2的內(nèi)部．
故選B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查點與圓的位置關(guān)系，求得c，b與a的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．