Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過(guò)（0，-1）
（1）求該橢圓的方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓上的點(diǎn)，并在x軸的上方，若$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，求四邊形ABF₂F₁的面積．

Answer 1

分析 （I）由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{c}^{2}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解方程可求a，c，然后根據(jù)b²=a²-c²，即可求橢圓方程
（II）由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₁A平行于F₂B，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，（C為直線F₁A與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)），設(shè)直線的方程為x=my$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），C （x₂，y₂）將x=my-$\sqrt{2}$入橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求，y₁+y₂，y₁y₂由，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，可求m，即可求解

解答 解：（I）由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{c}^{2}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，
解可得，$a=\sqrt{3}，c=\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，
橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（II）如圖所示，由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₁A平行于F₂B，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，（C為直線F₁A與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)），
設(shè)直線的方程為x=my$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），C （x₂，y₂），
將x=my-$\sqrt{2}$入橢圓方程有（my-$\sqrt{2}$）²+3y²=3，
整理可得，$（{m}^{2}+3）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-1=0$，
由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{2}m}{3+{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{3+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，（1）
又由，$\overrightarrow{{F}_{1}A}=5\overrightarrow{C{F}_{1}}$，可得y₁=-5y₂，
代入（1）可得，m²=2，
當(dāng)m=$\sqrt{2}$時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}y-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6\sqrt{2}}{5}}\\{y=-\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
當(dāng)m=-$\sqrt{2}$時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}y-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$可得，A（0，-1），
∵A，B是橢圓上的點(diǎn)，并在x軸的上方，故A（0，-1）舍去，
由兩點(diǎn)間的距離公式可得AF₁=$\sqrt{3}$，BF₂=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
直線AF₁和BF₂間的距離為d=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
所以四邊形ABF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}×（\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{5}）×\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考直線與圓錐曲線的關(guān)系、橢圓方程的求解，考查直線與圓的位置關(guān)系，試題具有一定的綜合性