Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{2^{{x^2}-2ax+a}}-1}$．當(dāng)a=1時不等式f（x）≥1的解集是（-∞，0]∪[2，+∞）；若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1]．

Answer 1

分析 ①a=1時，不等式f（x）≥1化為$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2x+1}-1}$≥1，求出不等式的解集即可；
②根據(jù)f（x）的定義域?yàn)镽，得出${2}^{{x}^{2}-2ax+a}-1$≥0恒成立，即x²-2ax+a≥0恒成立，化為△≤0，求出a的取值范圍．

解答 解：①a=1時，f（x）=$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2x+1}-1}$；
不等式f（x）≥1為
$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2x+1}-1}$≥1，
即${2}^{{（x-1）}^{2}}$-1≥1，
∴${2}^{{（x-1）}^{2}}$≥2，
即（x-1）²≥1，
解得x≤0，或x≥2，
∴該不等式的解集為（-∞，0]∪[2，+∞）；
②∵f（x）=$\sqrt{{2}^{{x}^{2}-2ax+a}-1}$的定義域?yàn)镽，
∴${2}^{{x}^{2}-2ax+a}-1$≥0恒成立，
即${2}^{{x}^{2}-2ax+a}$≥1恒成立，
∴x²-2ax+a≥0恒成立；
即△=4a²-4a≤0，
解得0≤a≤1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1]．
故答案為：（-∞，0]∪[2，+∞），[0，1]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的恒成立問題，是綜合性題目．