Question

5．已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（不含A點(diǎn)），且滿足$\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（圖1）．將△ADE沿DE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，連結(jié)AB、AC（圖2）．
（I）求證：AD⊥平面BCDE；
（II）求四棱錐A-BCDE體積的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理計(jì)算AB，則$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，故而△ADE∽△ABC，所以AD⊥DE，由面面垂直的性質(zhì)即可推出AD⊥平面BCDE；
（II）設(shè)DE=x，用x表示出四棱錐A-BCDE的體積，利用函數(shù)的單調(diào)性求出棱錐體積的最大值．

解答 證明：（I）∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∵$\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC=90°，即AD⊥DE．
∵平面ADE⊥平面BCDE，且平面∩平面=DE，AD⊆平面ADE，
∴AD⊥平面BCDE．
解：（II）設(shè)DE=x，則AE=2x，$AD=\sqrt{3}x$，
∴S_{四邊形BCDE}=S_△ABC-S_△ADE=$\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}（9-{x}^{2}）$．
∴V_A-BCDE=$\frac{1}{3}$S_{四邊形BCDE}•AD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}（9-{x}^{2}）•\sqrt{3}$x=$\frac{1}{2}$（9x-x³），（0＜x＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
令f（x）=9x-x³（$0＜x≤\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$），則f′（x）=9-3x²，令f′（x）=0得$x=\sqrt{3}$，
當(dāng)0$＜x＜\sqrt{3}$時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)$\sqrt{3}＜x＜\frac{3\sqrt{3}}{2}$時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在$（{0，\sqrt{3}}]$上單調(diào)遞增，在$（{\sqrt{3}，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}]$上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)$DE=\sqrt{3}$，即$AE=2\sqrt{3}$，AD=3時(shí)，四棱錐A-BCDE體積最大．
此時(shí)V_A-BCDE=$\frac{1}{2}×（9\sqrt{3}-3\sqrt{3}）=3\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，函數(shù)的最值，屬于中檔題．