Question

20．某大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到160輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時，當車流速度不超過40輛/千米時，車流速度均為60千米/小時，已知當40≤x≤160時，v是x的一次函數(shù)．
（1）當0≤x≤160時，求函數(shù)v（x）的表達式；
（2）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某點的車輛數(shù)，單位：輛/小時），f（x）=x•y（x）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在40≤x≤160時的表達式，根據(jù)一次函數(shù)表達式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（2）當0≤x≤40時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，得最大值為f（40）=2400，然后在區(qū)間[40，160]上用配方法求出函數(shù)f（x）的最大值，兩個區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間[0，160]上的最大值．

解答 解：（1）由題意：當0≤x≤40時，v（x）=60；40≤x≤160時，設(shè)v（x）=ax+b
再由已知得$\left\{\begin{array}{l}{160a+b=0}\\{40a+b=60}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{2}$，b=80
故函數(shù)v（x）的表達式為v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x≤40}\\{-\frac{1}{2}x+80，40＜x≤160}\end{array}\right.$．
（2）依題并由（1）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60x，0≤x≤40}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+80x，40＜x≤160}\end{array}\right.$
當0≤x≤40時，f（x）為增函數(shù)，故當x=40時，其最大值為60×40=2400
當40≤x≤160時，f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-80^）2+3200
所以x=80時，f（x）在區(qū)間（40，160]上取得最大值3200．
綜上所述，當x=80時，f（x）在區(qū)間[0，160]上取得最大值為3200輛/小時．

點評 本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．