Question

15．如圖1，平面五邊形ABCDE中，△ABE是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△BCE、△CDE均為等腰直角三角形，且∠BCE和∠CDE為直角，現(xiàn)將△ABE、△CDE分別沿BE、CE折起，使平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE，如圖2所示．
（1）求三棱錐C-BDE的體積；
（2）問(wèn)：在BE上是否存在點(diǎn)F，使得平面DCF⊥平面ABE？若存在，求出點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取CE中點(diǎn)M，則DM⊥平面BCE，根據(jù)平面幾何知識(shí)求出△BCE面積和DM的長(zhǎng)，代入體積公式計(jì)算；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知F為BE中點(diǎn)．

解答 解：（1）∵AB=2，△BCE、△CDE均為等腰直角三角形，∠BCE=∠CDE=90°，
∴BC=CE=$\sqrt{2}$，CD=DE=1，
取CE中點(diǎn)M，連結(jié)DM，則DM⊥CE，DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵平面DCE⊥平面BCE，平面DCE∩平面BCE=CE，DM?平面DCE，
∴DM⊥平面BCE，
∴V_棱錐C-BDE=V_棱錐D-BCE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×CE×DM$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
（2）取BE中點(diǎn)F，∵BC=CE，∴CF⊥BE，
∵平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE=BE，CF?平面DCE，
∴CF⊥平面ABE，∵CF?平面DCF，
∴平面DCF⊥平面ABE．
∴F為BE中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，面面垂直的性質(zhì)，幾何體體積計(jì)算，構(gòu)造棱錐的高是關(guān)鍵．