10.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足c=1,且cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0.
(1)求角C的大;
(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值時角A,B的值.

分析 (1)由三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得sinA=acosC,結(jié)合正弦定理,可得sinC=cosC,從而可求C.
(2)由余弦定理整理可得a2+b2=1+$\sqrt{2}$ab,①,利用基本不等式aab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$②,由代入法,即可得到當且僅當a=b時取到等號,從而可求取得最大值時∠A,∠B的值.

解答 解:(1)由cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0.
可得cosBsinC-(a-sinB)cosC=0,
即為sin(B+C)=acosC,
即有sinA=acosC,
∵$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinC}{c}$=sinC,
∴sinC=cosC,即tanC=1,
∴C=$\frac{π}{4}$;
(2)∵a2+b2-c2=2abcosC,
∴a2+b2=c2+2abcos$\frac{π}{4}$=1+$\sqrt{2}$ab,①,
∵ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$②,
∴②代入①可得:a2+b2≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$(a2+b2),
∴a2+b2≤2+$\sqrt{2}$,
當且僅當a=b時取到等號,
即取到最大值2+$\sqrt{2}$時,A=B=$\frac{3π}{8}$.

點評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式的應(yīng)用,綜合性較強,屬于基本知識的考查.

練習冊系列答案
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20.已知(1+i)•z=2i,那么復數(shù)z對應(yīng)的點位于復平面內(nèi)的(  )
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2.已知數(shù)列{an}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足a1=$\sqrt{2}$b1=1,且an+12=$\frac{({a}_{n}+_{n})^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}$,bn+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$,n∈N+,若cn=$\frac{{_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$;
(1)求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,并求出{cn}的通項公式;
(2)記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn,若對于?n∈N+,不等式$\sum_{i=1}^{n}$ai$\sqrt{{S}_{i}}$≤k-$\frac{\sqrt{2}n}{{2}^{n}}$恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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19.有4名優(yōu)秀學生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所學校,每所學校至少去一名,則不同的保送方案共有( 。
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16.如圖,已知點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點AB是圓O的直徑,CD=1,且CD⊥平面ABC,E是AD的中點
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