Question

2．已知數(shù)列{a_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足a₁=$\sqrt{2}$b₁=1，且a_n+1²=$\frac{（{a}_{n}+_{n}）^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}$，b_n+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，n∈N⁺，若c_n=$\frac{{_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$；
（1）求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，并求出{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于?n∈N⁺，不等式$\sum_{i=1}^{n}$a_i$\sqrt{{S}_{i}}$≤k-$\frac{\sqrt{2}n}{{2}^{n}}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把b_n+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$右邊通分后兩邊平方，與a_n+1²=$\frac{（{a}_{n}+_{n}）^{2}}{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}$兩邊作積即可證得數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，代入$\sum_{i=1}^{n}$a_i$\sqrt{{S}_{i}}$整理，利用錯(cuò)位相減法求其和，由不等式$\sum_{i=1}^{n}$a_i$\sqrt{{S}_{i}}$≤k-$\frac{\sqrt{2}n}{{2}^{n}}$分離k后求得函數(shù)的最大值得答案．

解答 （1）證明：遞推關(guān)系可變形為：$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}{（{a}_{n}+_{n}）^{2}}$，${_{n+1}}^{2}=\frac{（{a}_{n}+_{n}）^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$（n∈N^*），
兩式相乘得：$\frac{{_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n+1}}^{2}}=\frac{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}=\frac{{_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}+1$（n∈N^*），即c_n+1=c_n+1（n∈N^*），
又${a}_{1}=2{_{1}}^{2}$，∴${c}_{1}=\frac{{_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$．
∴數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公差為1的等差數(shù)列，
故{c_n}的通項(xiàng)公式：${c}_{n}={c}_{1}+（n-1）d=\frac{1}{2}+（n-1）×1=n-\frac{1}{2}$；
（2）解：由（1）知道，${S}_{n}=\frac{（\frac{1}{2}+n-\frac{1}{2}）n}{2}=\frac{{n}^{2}}{2}$，${a}_{n}={a}_{1}×（\frac{1}{2}）^{n-1}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\sum_{i=1}^{n}$a_i$\sqrt{{S}_{i}}$=$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i-1}}•\frac{i}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{{2}^{i}}$．
記${T}_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{{2}^{i}}=\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$    ①
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$      ②
由①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}=1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴${T}_{n}=2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴$\sqrt{2}（2-\frac{2+n}{{2}^{n}}）≤k-\frac{\sqrt{2}n}{{2}^{n}}$，
即對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式$k≥2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{{2}^{n}}$恒成立，∴k≥$（2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{{2}^{n}}）_{max}$，
當(dāng)n=1時(shí)，$（2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{{2}^{n}}）_{max}=\sqrt{2}$．
∴k的范圍是[$\sqrt{2}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，屬中高檔題．