Question

18．已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-2）²+（y-4）²=k（k＞0），若圓C與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，圓C與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的右方，則AE中點(diǎn)M的軌跡方程是（　　）

• A． （y-2）²-（x-1）²=3（x＞1，y＞2+$\sqrt{3}$）
• B． （y-2）²-（x-1）²=3
• C． （x-2）²-（y-1）²=3（y＞1，x＞2+$\sqrt{3}$）
• D． （x-2）²-（y-1）²=3

Answer 1

分析 先由條件求得A、E的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求得M的坐標(biāo)，消去參數(shù)，可得點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-2）²+（y-4）²=k，結(jié)合題意可得A（0，4+$\sqrt{k-4}$），
E（2+$\sqrt{k-16}$，0），設(shè)AE的中點(diǎn)為M（x，y），
則由中點(diǎn)公式可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{k-16}}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{k-4}}{2}}\end{array}\right.$，（k＞16）．
化簡(jiǎn)消去參數(shù)k可得（y-2）²-（x-1）²=3．
再根據(jù)x＞1，y＞2+$\sqrt{3}$，結(jié)合所給的選項(xiàng)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，注意x、y的范圍，屬于中檔題．