Question

20．將橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1繞其中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所得曲線的方程是$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)變換公式可得：$（\begin{array}{l}{{x}^{′}}\\{{y}^{′}}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{cos\frac{π}{2}}&{-sin\frac{π}{2}}\\{sin\frac{π}{2}}&{cos\frac{π}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{′}}\\{y=-{x}^{′}}\end{array}\right.$，代入橢圓方程即可得出．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)變換公式可得：$（\begin{array}{l}{{x}^{′}}\\{{y}^{′}}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{cos\frac{π}{2}}&{-sin\frac{π}{2}}\\{sin\frac{π}{2}}&{cos\frac{π}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{′}}\\{y=-{x}^{′}}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程可得：$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{25}+$$\frac{（-{x}^{′}）^{2}}{9}$=1，
即$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1，
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)變換公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．