Question

15．如圖所示，在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F₁，F₂分別是橢圓的左右焦點，點B（0，-b）是橢圓C的下頂點，BF₁的延長線交橢圓C于點A，點D和點A關于x軸對稱．
（1）若BF₁=2，點D（-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{1}{7}$），求橢圓的標準方程；
（2）若$\overrightarrow{D{F}_{2}}$•$\overrightarrow{BA}$=0，求橢圓C的離心率e．

Answer 1

分析 （1）由|BF₁|=2，點D（-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{1}{7}$）在橢圓上，可得a=2，$\frac{192}{49{a}^{2}}$+$\frac{1}{49^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯立解得即可得出；
（2）直線BA的方程為：y=-$\frac{c}$x-b，與橢圓方程聯立化為：（c²+a²）x²+2a²cx=0，解得A坐標，可得D坐標，利用相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出．

解答 解：（1）∵|BF₁|=2，點D（-$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，-$\frac{1}{7}$）在橢圓上，
∴a=2，$\frac{192}{49{a}^{2}}$+$\frac{1}{49^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的標準方程；
為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）直線BA的方程為：y=-$\frac{c}$x-b，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{c}x-b}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（c²+a²）x²+2a²cx=0，
解得x_A=$\frac{-2{a}^{2}c}{{c}^{2}+{a}^{2}}$，y_A=$\frac{^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}$．
∴$D（\frac{-2{a}^{2}c}{{c}^{2}+{a}^{2}}，\frac{-^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}）$．
∴${k}_{D{F}_{2}}$=$\frac{\frac{-^{3}}{{c}^{2}+{a}^{2}}}{\frac{-2{a}^{2}c}{{c}^{2}+{a}^{2}}-c}$=$\frac{^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$．
∵$\overrightarrow{D{F}_{2}}$•$\overrightarrow{BA}$=0，
∴${k}_{D{F}_{2}}$•k_AB=$\frac{^{3}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$•$（-\frac{c}）$=-1．
化為：b⁴=3a²c²+c⁴，
∵b²=a²-c²，
∴a²=5c²．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．