Question

8．已知橢圓x²+4y²=16，點(diǎn)M（2，1）．
（1）求橢圓的焦距和離心率；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)M與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）橢圓x²+4y²=16，可化為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，即可求橢圓的焦距和離心率；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，把A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程，然后相減可求AB的斜率，進(jìn)而可求直線AB的方程．

解答 解：（1）橢圓x²+4y²=16，可化為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，∴a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓的焦距為4$\sqrt{3}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
A，B代入x²+4y²=16，作差可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴直線AB的斜率為-$\frac{1}{2}$
∴直線l的方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，要注意本題設(shè)點(diǎn)作差法的應(yīng)用，此類方法一般適合用于有中點(diǎn)坐標(biāo)求解直線的斜率問(wèn)題．