Question

10．如圖，三棱錐A-BCD中，AB=BD=CD=1，AD=BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$．
（1）求證：CD⊥平面ABD；
（2）若M為AD中點(diǎn)，求三棱錐A-MBC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理的逆定理可證明CD⊥BD，CD⊥AD，故CD⊥平面ABD；
（2）把△ABM看做棱錐的底面，則CD為棱錐的高．

解答 證明：（1）∵AD=$\sqrt{2}$，CD=1，AC=$\sqrt{3}$，∴AD²+CD²=AC²，∴CD⊥AD．
∵BD=CD=1，BC=$\sqrt{2}$，∴BD²+CD²=BC²，∴CD⊥BD，
又∵AD?平面ABD，BD?平面ABD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD．
（2）∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，S_△ABM=$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×AB×BD$=$\frac{1}{4}$．
∴三棱錐A-MBC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABM•CD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1$=$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．