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11.已知數列{an}滿足a1=$\frac{1}{2}$,$\frac{3(1+{a}_{n+1})}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2(1+{a}_{n})}{1-{a}_{n+1}}$,anan+1<0,求數列{an}的通項公式.

分析 由$\frac{3(1+{a}_{n+1})}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2(1+{a}_{n})}{1-{a}_{n+1}}$,可得$\frac{1-{a}_{n+1}^{2}}{1-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{2}{3}$,利用等比數列的通項公式可得:${a}_{n}^{2}$=1-$\frac{1}{2}×(\frac{2}{3})^{n-2}$,利用anan+1<0,${a}_{1}=\frac{1}{2}$,即可得出.

解答 解:∵$\frac{3(1+{a}_{n+1})}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2(1+{a}_{n})}{1-{a}_{n+1}}$,
∴$\frac{1-{a}_{n+1}^{2}}{1-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{2}{3}$,
∴數列$\{1-{a}_{n}^{2}\}$是等比數列,首項為$\frac{3}{4}$,公比為$\frac{2}{3}$.
∴$1-{a}_{n}^{2}$=$\frac{3}{4}×(\frac{2}{3})^{n-1}$=$\frac{1}{2}×(\frac{2}{3})^{n-2}$.
∴${a}_{n}^{2}$=1-$\frac{1}{2}×(\frac{2}{3})^{n-2}$,
∵anan+1<0,${a}_{1}=\frac{1}{2}$,
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-\frac{1}{2}(\frac{2}{3})^{n-2}},n=2k-1}\\{-\sqrt{1-\frac{1}{2}(\frac{2}{3})^{n-2}},n=2k}\end{array}\right.$,k∈N*

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其性質、分類討論方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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