Question

若{a_n}為等差數(shù)列，則下列數(shù)列中：
（1）{pa_n}；  （2）{na_n}； （3）{a_n²}； （4）{a_n+a_n+1}．
（其中p，q為常數(shù)）等差數(shù)列有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等差數(shù)列的定義只要證明b_n+1-b_n=常數(shù)即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，a_n=a₁+（n-1）d，
（1）pa_n+1-pa_n=p（a_n+1-a_n）=pd為常數(shù)，因此{(lán)pa_n}是等差數(shù)列；
（2）（n+1）a_n+1-na_n=a₁+2nd不是常數(shù)，因此{(lán)na_n}不是等差數(shù)列．
（3）a_n+1²-a_n²=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=d[2a₁+（2n-1）d]不為常數(shù)，因此{(lán)a_n²}不是等差數(shù)列；
（4）（a_n+1+a_n+2）-（a_n+a_n+1）=a_n+2-a_n=2d為常數(shù)，因此{(lán)a_n+a_n+1}是等差數(shù)列，
綜上可知：只有（1），（4）是等差數(shù)列．
故答案為：（1），（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，正確運(yùn)用等差數(shù)列的定義是關(guān)鍵．