Question

12．如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC⊥AB，E，F(xiàn)，H分別是AC，AB′，BC的中點．
（1）證明：EF⊥AH
（2）求四面體E-FAH的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B′C．由中位線定理得EF∥B′C，由AB=AC得AH⊥BC，由BB′⊥平面ABC得BB′⊥AH，故AH⊥平面BB′C，于是AH⊥B′C，從而EF⊥AH；
（2）過F作FM⊥AB于M，則FM⊥平面ABC，求出FM和S_△AEH，于是V_E-FAH=V_F-AEH．

解答 證明：（1）連結(jié)B′C．
∵E，F(xiàn)分別是AC，AB′的中點，
∴EF∥B′C，
∵AB=AC，H是BC的中點，∴AH⊥BC，
∵BB′⊥平面ABC，AH?平面ABC，
∴BB′⊥AH，又BC?平面BB′C，BC?平面BB′C，BB′∩BC=B，
∴AH⊥平面BB′C，∵B′C?平面BB′C，
∴AH⊥B′C，又B′C∥EF，
∴EF⊥AH．
解：（2）過F作FM⊥AB于M，則FM⊥平面ABC，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$BB′=1．
∵S_△AEH=$\frac{1}{2}AE•EH$=$\frac{1}{2}$，
∴V_E-FAH=V_F-AEH=$\frac{1}{3}{S}_{△AEH}•FM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．