Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．關(guān)于函數(shù)g（x），下列說法正確的是（　�。�

• A． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)
• B． 其圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱
• C． 函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
• D． 當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時，函數(shù)g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 由兩角和的正弦把三角函數(shù)化簡，結(jié)合已知求出周期，進一步得到ω，則三角函數(shù)的解析式可求，再由圖象平移得到g（x）的解析式，畫出其圖象，則答案可求．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx）$=$2sin（ωx+\frac{π}{6}）$，
由題意知$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，則T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=2$sin[2（x+\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]=2sin（2x+\frac{π}{2}）$=2cos2x．
其圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，A錯誤；
其圖象的對稱中心為（$-\frac{π}{4}，0$），B錯誤；
函數(shù)為偶函數(shù)，C錯誤；
$2cos（2×\frac{π}{6}）=1$，$2cos（2×\frac{2π}{3}）=-1$，
∴當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時，函數(shù)g（x）的值域是[-2，1]，D正確．
故選：D．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確畫出圖象對解決問題起到事半功倍的作用，是中檔題．